Funcţii. Limite de funcţii: 2012

Exerciţii propuse

Să se calculeze limitele funcţiilor propuse:

1) $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=x-3$ .
2) $f:\mathbb{R} \to\ \mathbb{R} , f\left ( x \right )=2x+1.$
3) $f:\mathbb{R} \to \ \mathbb{R}, f\left ( x \right )=x+3$ si $g:\mathbb{R} \to \ \mathbb{R}, g\left ( x \right ) =2x-1.$
4) $f:\mathbb{R} \to \ \mathbb{R}, f\left ( x \right )=3-4x.$
5) $f:\mathbb{R}\to \ \mathbb{R}, f\left ( x \right )=2x+1.$
6) $f,g:\mathbb{R} \to \ \mathbb{R}, f\left ( x \right ) =2x-1, g\left ( x \right )=-4x+1.$
7) $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\;\;g(x)=-3x+3$
8) a) 2^x = -4, b) 2^x = 4, c) 2^x = 5.
9)

10) a)log (7-9x); b) log(25x-4); c) 5x-log(2+7x)
11) $f(x)={arcsinx}+{3arccosx}+{arcsin}(2x\sqrt{1-x^2})$
12) f(x) = ln(x² - 6x + m).
13) $\sqrt{1-x^2}=tgx$
14) $f(x)=arccos{\sqrt{2-x^2}}+arccos{\sqrt{x^2-1}},$
15) -x² - 5x – 0.31,
16) 0.51x² - 2x,
17) 7x² - 9x + 10,
18) 2[x² - 1/2x + 3/2]
19) -p⁴+ 4p³ + 12p² - 4p – 36
20) x² - 8x + 12.

MULT SUCCES!!!!!!!!

Limite remarcabile

Definitia limitei unei functii intr-un punct
Fie a un punct de acumulare (finit sau infinit) al unei mulţimi E.
Se spune că L (din R, sau +/-00) este limita funcţiei f:E --> R in punctul
a, daca oricare ar fi xn din E, xn diferit de a, pentru orice n natural, xn - > a,
sirul (f(xn)), al valorilor functiei, tinde catre L (din R, sau +/-00).
Teorema clestelui
Fie 3 functii f,g,h:E -> R, a un punct de acumulare pentru E si V o vecinatate a lui a.
Daca:
$a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;si$ $b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=L,$ atunci g are limita in a si:

${\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =L.$
Limite remarcabile (exerciţii rezolvate) VIDEO

Calculul limitelor de funcţii continue

Definitii:
O functie f, reala, de argument real, definita pe D si cu valori in R, este continuă în
punctul a din D, dacă pentru oricare şir (xn), xn din D, convergent la a, sirul (f(xn)) este
convergent şi
$\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.$

Punctul a din D se numeste punct de continuitate al functiei f, daca functia este continua in a.
Daca functia nu este continua in punctul a, ea se numeste discontinua in punctul a, iar punctul a se numeste punct de discontinuitate al functiei f.
Daca punctul a este punct de discontinuitate al functiei f, iar f(a - 0) si f(a + 0)(adica limitele la stanga si la dreapta in a) exista si sunt finite, a se numeste punct de discontinuitate de speta I al functiei f; numim puncte de discontinuitate de speta II ale functiei f toate celelalte puncte de discontinuitate.

Prelungirea prin continuitate a unei functii:
Fie f:(D\{a}) - > R o functie reala de variabila reala, unde a este un punct de
acumulare al multimii D (adica in orice vecinatate a lui a se gaseste cel putin un
element din D, diferit de a).
Daca functia f are limita finita in a si
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=L,$
functia
$\tilde{f}:{D}\cup{\{a}\}\rightarrow{\mathbb{R}},$
definita prin
$\tilde{f}(x) = \begin{cases}f(x),x\neq{a}\\\mathit{l},\;x=a\end{cases},$
evident continua in a, se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a.
Functii cu proprietatea lui Darboux:
Fie f:I - > R o functie, unde I este un interval inclus in R.
Functia f are proprietatea lui Darboux pe I, daca pentru orice a, b din I, si orice
λ intre f(a) si f(b), exista xλ € (a,b), astfel incat f(xλ) = λ.
Teorema:
Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.
Teorema lui Weierstrass:
Fie intervalul [a,b] inclus in R; orice functie continua f:[a,b] - > R este marginita si isi
atinge marginile pe acest interval (adica f([a,b]) este un interval inchis si marginit).

EXERCIŢII REZOLVATE!!!!!!!!!!!!

1) Suport teoretic:
Functie continua, functie multiforma, limite laterale, operatie exceptata, regula lui l'Hospital.
Enunt:
Sa se demonstreze ca functia urmatoare este continua pe domeniul sau de definitie:
$f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},$ $f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.$
Demonstratie:
Este suficient sa se arate ca functia este continua in x = 2, adica limitele laterale in
x = 2 exista si sunt egale cu valoarea functiei in x = 2. Deci:
$f_s(2)={lim}_{x\nearrow{2}}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}}=$ $e^{{lim}_{x\nearrow{2}}{({tg}{\frac{\pi}{x})}\cdot{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}}=$ $e^{{lim}_{x\nearrow{2}}}$ $\frac{{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}{{ctg}{\frac{\pi}{x}}}.$
S-a obtinut operatia exceptata 0/0, se aplica, eventual, regula lui l`Hospital si se gaseste
in final ca limita la stanga in x = 2 este egala cu "e" (1).
In mod analog se procedeaza pentru limita la dreapta si se obtine tot "e" (2).
Din (1), (2) si f(2) = e (ipoteza), rezulta ca functia este continua pe domeniul sau de
definitie.
2)

Suport teoretic:
Discontinuitate de speţa intai, functie multiforma, operatii exceptate, numarul e, regula lui L'Hospital.
Enunt:
Sa se arate ca x = π/2 este punct de discontinuitate de speţa intai pentru functia cu
acolada de mai jos:
${f:(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})}\rightarrow{\mathbb{R}},$ $f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt[3]{cos(x+\frac{\pi}{2})}+1}{tg2x},\;{x}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\\0,\;x=\frac{\pi}{2}\\{(1+tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}},\;{x}\in{(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})}\end{cases}.$
Rezolvare:
Trebuie aratat ca limitele laterale in raport cu x = π/2 exista, sunt
finite, dar distincte.

$f_s(\frac{\pi}{2})=[\frac{0}{0},\;amplificare\; cu\; conjugata\; numaratorului]=$

$=\lim_{x\nearrow{\frac{\pi}{2}}}$ $\frac{{cos}(x+\frac{\pi}{2})+1}{(tg2x)[\sqrt[3]{{cos}^2(x+\frac{\pi}{2})}-\sqrt[3]{{cos}(x+\frac{\pi}{2})}+1]}$ $=[\frac{0}{0},\; L$

$f_d(\frac{\pi}{2})=$ $\lim_{x\searrow{\frac{\pi}{2}}}{(1+{tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}}}=$ $[1^{\infty}]=$ $e^{\lim_{x\searrow{\frac{\pi}{2}}}}$ ${{\frac{1}{2x-\pi}}\cdot{ln(1+tg2x)}}=[\frac{0}{0},\;L$ $=\cdots=e^{\lim_{x\searrow{\frac{\pi}{2}}}}{\frac{1}{{cos}^22x(1+tg2x)}}=e. (2)$

Din (1) si (2) rezulta ca functia f admite un punct de discontinuitate de speta intai in
x = π/2.
3) Enunt:
Fie functia f:(0,+oo) - > R, f(x) = x - lnx.
Sa se determine Imf.
Raspuns:
Imf = [1,+oo).
Rezolvare:
Se studiaza variatia functiei f cu ajutorul derivatei întâi. Deci:
f'(x) = 1 - 1/x = 0 < = > x = 1 (singurul punct critic al functiei f).
Tabelul de variatie al functiei f este:

x	0		1		+oo
f'(x)	\|	- - - - -	0	+ + + + +
f(x)	+oo	$\searrow$	1	$\nearrow$	+oo

Intrucat functia f este continuă, deducem că imaginea sa (Imf) este tot interval (ca si
domeniul sau de definitie), anume Imf = [1,+ 00].

Proprietăţile limitelor de funcţii

Definitie:Data fiind o multime , punctul se numeste punct de acumulare al multimii D daca in orice vecinatate V a lui x₀ au loc Ø.

Definitie : Fie , o functie si un punct de acumulare al multimii D.

Spunem ca este limita functiei f in punctul si scriem f(x) = l, daca

pentru orice vecinatate V a lui l, exista o vecinatate U a lui astfel inc@t pentru

orice au loc (definitia cu vecinatati).

Teorema 1 (de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct):

Daca , si este un punct de acumulare al multimii D,

atunci sunt echivalente afirmatiile:

a) f(x) = l ()

b) Oricare ar fi , exista astfel inc@t pentru orice cu

proprietatea sa rezulte ( definitia cu ).

Teorema 2 (de caracterizare a limitei fu 20320h714u nctiei intr-un punct):

Daca , si este un punct de acumulare al multimii D,

urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f(x) = l ( )

b) Oricare ar fi sirul (), cu atunci

(definitia cu siruri).

Observatie : Daca exista, limita unei functii intr-un punct este unica.

Observatie : O functie , nu are limita in punctul , punct de acumulare

al multimii D, daca exista doua siruri , , ,

cu , astfel inc@t exista una din situatiile:

a) unul din sirurile , nu are limita

b) exista f() = , f() = dar .

Exemplu : Functia lui Dirichlet , f(x) =nu au limite in nici un punct.

Solutie : Fie un punct de acumulare pentru R. Consideram un sir si

₌_{1 = 1. Consideram
un sir �} ), si

Atunci EMBED Equation.3 . Cum EMBED Equation.3 rezulta conform observatiei anterioare ca functia nu

are limita in punctul .

B. Limite laterale .

Definitie : 1) Fie functia punct de acumulare pentru multimea

. Spunem ca numarul este limita la st@nga a functiei f in

punctul daca restrictia lui f la are limita in punctul si este egala cu .

2) Fie functia punct de acumulare pentru multimea

. Spunem ca numarul este limita de dreapta a functiei f in

punctul daca restrictia lui f la are limita in punctul si este egala cu .

Notatie : = f(x) = f(x) = f()

= f(x) = f(x) = f()

Teorema : Fie functia si punct de acumulare al multimii D' cu proprietatea ca

functia f are limite laterale in EMBED Equation.3 . Atunci sunt echivalente afirmatiile:

a)functia are limita in punctul EMBED Equation.3

b) EMBED Equation.3 .

{n aceste conditii EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

C.Proprietati ale limitelor de functii. Operatii cu limite de functii.

1)Daca f(x) = l atunci EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Fie EMBED Equation.3 punct de acumulare al multimii D. Daca exista f(x) EMBED Equation.3 g(X) si exista o vecinatate V a lui EMBED Equation.3 astfel inc@t EMBED Equion.3 atunci

2) Fie punct de acumulare al multimii D. Daca exista si exista o vecinatate V a lui astfel inc@t , atunci exista (Criteriul cleste).

3) Daca , atunci exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

f(x) > (<)

4) Criterii de majorare : Fie functiile un punct de acumulare al

multimii D':

a) Daca si exista si V o vecinatate a lui astfel inc@t

atunci

b) Daca atunci .

c) Daca si exista M>0 astfel inc@t atunci ;

d) Daca si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t , atunci .

e) Daca si exista o vecinatate V a lui , astfel inc@t , atunci .

5) Fie functiile un punct de acumulare al multimii D, , au sens operatiile: +, -, ,/, si f(x)+g(x),

f(x)-g(x), f(x)g(x), f(x) / g(x), pentru si ,

, , .

- daca in plus exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

atunci .

Cazuri exceptate:

Operatii simbolice:

6) Fie functiile un punct de acumulare al multimii A. Daca

exista este punct de acumulare al multimii B, exista o vecinatate V

al lui astfel inc@t si exista o , atunci

functia are limita in punctul si .

D. Limitele unor functii uzuale

1) Functii polinomiale:

- Daca

2) Functii rationale :

- daca si atunci

3) Functia radical: Pentru si punct de

acumulare:

- -

Pentru

- atunci

4) Functii trigonometrice:

Pentru

5) Functia exponentiala:

Pentru Pentru

6) Functia logaritmica:

Pentru

7) Daca r>0 si functia este functia exponentiala de baza e, atunci functia este compunerea celor doua functii:

si se numeste functia putere.

E. Limite remarcabile :

2) 3)

4) 5)

6) 7)

Dacasi daca exista o vecinatate V a lui astfel inc@t

atunci :

3) 4)

Daca atunci: 5)

6) 7)

Observatie : Aceste limite remarcabile sunt utile atunci c@nd apar cazuri de nedeterminare.

F. Asimptote : Fie functia punct de acumulare pentru D.

Definitie: 1) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala la st@nga a lui f daca

2) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala la dreapta a lui f daca

3) Spunem ca dreapta de ecuatie este asimptota verticala a lui f daca este asimptota

verticala la st@nga sau la dreapta a lui f sau de ambele parti.

Observatii: 1) Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f sa fie definita in .

Daca este punct de acumulare pentru f atunci functia nu are asimptota verticala

2) Functia polinomiala fiind continua pe R, nu are asimptote verticale.

3) Functia rationala are ca asimptote verticale dreptele , unde este radacina a

numitorului.

4) Functia logaritmica are ca asimptota

verticaladreapta de ecuatie x = 0.

5) Functia f(x) = tg x are ca asimptote verticaledreptele de ecuatie

Definitie: Fie functia , unde D contine un interval de forma . Spunem ca

dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre a functiei f, daca

distanta dintre dreapta si grafic, masurata pe verticala tinde catre zero c@nd x tinde catre

adica daca:

Definitie: Fie functia , D contine un interval de forma . Spunem ca

dreapta y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre a functiei f daca

Teorema: 1) Dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica la ramura spre a lui f daca si numai daca (finite) unde

2) Dreapta de ecuatie y = m'x + n' este asimptota oblica la ramura spre a lui f daca si

numai daca (finite) unde

Observatii: 1) Practic pentru a determina asimptota oblica la parcurgem etapele :

- se calculeaza ;

- daca nu este finit, atunci se calculeaza ;

- daca n este finit, atunci dreapta de ecuatie y = mx + n este asimptota oblica spre .

Pentru determinarea asimptotei oblice spre se procedeaza analog.

2) Daca cel putin una dintre cele doua limite nu exista sau este infinita, atunci nu exista

asimptota oblica spre pentru f.

3) Daca m=0 si n este finit, atunci y=n si se numeste asimptota orizontala spre a lui f.

Daca m=0 si n' este finit, atunci y=n' si se numeste asimptota orizontala spre a lui f.

Observatie: O functie nu poate admite at@t asimptote oblice c@t si asimptote orizontale la .

Exemple:

A. 1) Sa se arate ca nu exista.

Solutie: Consideram functia este punct de acumulare al domeniului de definitie. Consideram sirurile . Dar si . Cum rezulta ca nu exista.

Exercitii propuse: Sa se arate ca urmatoarele limite nu exista: a) ; b) ;

Limitele laterale nu sunt egale, rezulta nu exista.

2) Sa se determine astfel inc@t functia cusa aiba limita in punctul x=3.

Solutie: Daca f are limita in x=3 => f(3-0)=f(3+0)

Exercitii propuse:

1) Stabiliti daca urmatoarele functii au limite in punctul indicat:

d) e)

2) Determinati constanta pentru care functiile au limita in punctul indicat:

B. 1) Sa se calculeze limitele:

trecem la limita in inegalitate:

b) Consideram functia f(x)=cos x ;;

Exercitii propuse: Calculati limitele:

C. Sa se calculeze limitele:

1) a) b)

2) a) b) c)

e) f)

3) a) b) c)

4) a) b) c)

5) a)b) c)

6) a) b) c)

7) a) b)

Exercitii propuse: Calculati urmatoarele limite:

1) a) b) c)

2) a) b) c) d) e)

f) g) h)

3) a) b) c)

4) a) b) c) d)

5) a) b) c) d) e)

6) a) b) c) d)

7) a) b) c)

D. Calculati limitele:

1) a) b)

e) . Notam

. C@nd .

Exercitii propuse: Calculati limitele:

2) a) b)

d) Consideram

Exercitii propuse:

3) a) b)

Exercitii propuse:

4) a) b)

d) e)

Exercitii propuse: .

Cazuri de nedeterminare

Reamintim, cazurile de nedeterminare sunt:

I. Cazul poare fi int@lnit in situatiile:

a) limite de functii rationale in puncte finite .

, daca este radacina de ordin k pentru q se face simplificarea fractiei

b) limitele de functii rationale in grupare cu functia modul.

c) limite de expresii defite prin c@t de expresii irationale.

- se amplifica cu conjugata numitorului, numaratorului sau a ambilor.

d) limite de functii trigonometrice (se utilizeaza limitele:

)

1) 2)

3) Notam

e) limite de functii exponentiale, logaritmice (se utilizeaza limitele:

)

1) 2)

f) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie doua functii cu proprietatile: 1) f,g divizibile prin (a,b) ;

2) 3) 4) exista .

Atunci exista limita si mai mult

Exemple: 1) 2) ;

II. Cazul poate fi int@lnit in situatiile:

a) limite de functii rationale.

1) 2)

b) limite de functii irationale, exponentiale, logaritmice.

c) limite de functii care se calculeaza cu regula lui l'Hospital.

Teorema: Fie doua functii cu proprietatile: 1) f,g sunt derivabile pe (a,b);

2) 3) 4) exista . Atunci exista limita si mai mult are loc egalitatea

Exemple: 1) 2)

III. Cazul :

a) limita de functii rationale (se aduce la acelasi numitor).

b) limite de functii irationale (se amplifica cu conjugata).

c) limite de functii exponentiale, logaritmice.

1) 2)

d) scriem f - g intr-o alta forma: sau

IV. Cazul . Se scrie produsul fg in unul din urmatoarele moduri:

daca pentru sau daca , fiecare caz

reduc@nduse la cazul sau .

1) 2)

V. Cazul . (Se utilizeaza limita ).

VI. Cazul . (Se foloseste scrierea ).

1) 2)

VII. Cazul .

1) 2) Notam

Limite de functii cu parametri

1) Sa se determine a,b astfel inc@t

Solutie: Daca nu are limita 0 atunci limita va fi sau . Obtinem si 1-a = 0 => a=1.

Obtinem .

2) Sa se determine a,b,c astfel inc@t .

Solutie: .

Pentru ca limita sa fie finita este necesar ca 2 - 2b = 0 => b=1.

Obtinem

F. Sa se determine asimptotele pentru functiile:

- asimptote verticale. Cautam in si .

x -2 2

=> ca x = -2 este asimptota verticala a lui f. + + + + + + + 0 - - - - - - - 0 + + + + + + +

De asemenea => ca x = 2 este asimptota verticala a lui f.

- asimptote orizontale.

y = 1 este asimptota orizontala spre

dreapta de ecuatie

y = x - 5 este asimptota oblica spre

- asimptote verticale:

dreapta x = 0 este asimptota verticala la dreapta in 0.

- asimptote orizontale: ca f nu poseda asimptote orizontale.

- asimptote oblice: - spre

9) 10) 11)

12) 13) 14) 15) 16)

17) 18)

II. Determinati parametrii reali a,b,c astfel in@t sa aiba loc:

1) ; 2) ;

3) .

III. Determinati asimptotele urmatoarelor functii , unde D reprezinta domeniul maxim de definitie:

1) 2) 3)

IV. Se considera functia definita prin expresia , a fiind un parametru real, a>0.Sa se determine a astfel inc@t graficul functiei sa aiba o singura asimptota verticala.

пятница, 28 сентября 2012 г.

Exerciţii propuse

Limite remarcabile

Calculul limitelor de funcţii continue

Proprietăţile limitelor de funcţii

пятница, 28 сентября 2012 г.