Calculul limitelor de funcţii continue

Definitii: 
O functie f, reala, de argument real, definita pe D si cu valori in R, este continuă în  
punctul a din D, dacă pentru oricare şir (xn), xn din D, convergent la a, sirul (f(xn)) este
convergent şi

• Punctul a din D se numeste punct de continuitate al functiei f, daca functia este continua in a.
• Daca functia nu este continua in punctul a, ea se numeste discontinua in punctul a, iar punctul a se numeste punct de discontinuitate al functiei f.
• Daca punctul a este punct de discontinuitate al functiei f, iar f(a - 0) si f(a + 0)(adica limitele la stanga si la dreapta in a) exista si sunt finite, a se numeste punct de discontinuitate de speta I al functiei f; numim puncte de discontinuitate de speta II ale functiei f toate celelalte puncte de discontinuitate.

Prelungirea prin continuitate a unei functii:
 Fie f:(D\{a}) - > R o functie reala de variabila reala, unde a este un punct de
acumulare al multimii D (adica in orice vecinatate a lui a se gaseste cel putin un
element din D, diferit de a).
Daca functia f are limita finita in a si 

functia 

definita prin

evident continua in a, se numeste prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a.
Functii cu proprietatea lui Darboux:
Fie f:I - > R o functie, unde I este un interval inclus in R. 
Functia f are proprietatea lui Darboux pe I, daca pentru orice a, b din I, si orice
λ intre f(a) si f(b), exista xλ € (a,b), astfel incat f(xλ) = λ.
Teorema:
Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.
Teorema lui Weierstrass:
Fie intervalul [a,b] inclus in R; orice functie continua f:[a,b] - > R este marginita si isi
atinge marginile pe acest interval (adica f([a,b]) este un interval inchis si marginit). 

EXERCIŢII REZOLVATE!!!!!!!!!!!! 

1) Suport teoretic:
Functie continua, functie multiforma, limite laterale, operatie exceptata, regula lui l'Hospital.
Enunt:
Sa se demonstreze ca functia urmatoare este continua pe domeniul sau de definitie:

Demonstratie:
Este suficient sa se arate ca functia este continua in x = 2, adica limitele laterale in
x = 2 exista si sunt egale cu valoarea functiei in x = 2. Deci:

S-a obtinut operatia exceptata 0/0, se aplica, eventual, regula lui l`Hospital si se gaseste
in final ca limita la stanga in x = 2 este egala cu "e" (1).
In mod analog se procedeaza pentru limita la dreapta si se obtine tot "e" (2).
Din (1), (2) si f(2) = e (ipoteza), rezulta ca functia este continua pe domeniul sau de
definitie.
2)

Suport teoretic:
Discontinuitate de speţa intai, functie multiforma, operatii exceptate, numarul e, regula lui L'Hospital.
Enunt:
Sa se arate ca x = π/2 este punct de discontinuitate de speţa intai pentru functia cu
acolada de mai jos:

Rezolvare:
Trebuie aratat ca limitele laterale in raport cu  x = π/2 exista, sunt
finite, dar distincte.

• 

      

• 

Din (1) si (2) rezulta ca functia f admite un punct de discontinuitate de speta intai in
 x = π/2.
3) Enunt:
Fie functia f:(0,+oo) - > R, f(x) = x - lnx.
Sa se determine Imf.
Raspuns:
Imf = [1,+oo).
Rezolvare:
Se studiaza variatia functiei f cu ajutorul derivatei întâi. Deci:
f'(x) = 1 - 1/x = 0 < = > x = 1 (singurul punct critic al functiei f).
Tabelul de variatie al functiei f este:

x	0		1		+oo
f'(x)	|	-   -   -   -   -	0	+   +   +   +   +
f(x)	+oo		1		+oo

Intrucat functia f este continuă, deducem că imaginea sa (Imf) este tot interval (ca si
domeniul sau de definitie), anume Imf = [1,+ 00].