Funcţii. Limite de funcţii: ŞIR NUMERIC

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.
Fie A și B două mulțimi. Notăm cu G produsul lor cartezian : G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea ( x, y ) se află în F.
Pentru oricare două perechi ( x₁ , y₁ ) și ( x₁, y₂ ) din F avem y₁ = y₂.

Funcțiile pot fi definite astfel:

Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3.x - 1
Noţiunea de şir este fundamentală în analiza matematică, iar calculul limitei
unui şir, atunci când aceasta există, impune, de cele mai multe
ori, cunoaşterea unui set consistent de proprietăţi, de formule şi criterii
remarcabile, stăpânirea unor abilităţi speciale pentru eliminarea operaţiilor
exceptate.
Iată, mai jos, pe scurt, ce trebuie să ştii pentru a aborda, in cunoştinţă de
cauză, limitele de şiruri:
Definitia limitei finite a unui sir de numere reale:
Un numar real L este limita a unui sir (xn) daca orice vecinatate a lui L contine toti
termenii sirului, exceptând (eventual) un numar finit de termeni, sau, echivalent:
În afara oricarei vecinatati a lui L se afla (cel mult) un numar finit de termeni ai sirului.
Se spune, în acest caz, ca sirul este convergent la L.
Definitia limitei infinite a unui sir de numere reale:
1) Un sir (xn) are limita + 00, daca pentru orice M > 0, exista numarul natural k, astfel
incat xk > M.
Se spune, in acest caz, ca sirul este nemarginit la dreapta, sau ca sirul tinde la + 00;
2) Un sir (xn) are limita - 00, daca pentru orice M > 0, exista numarul natural k, astfel
incat xk < - M;
Se spune, in acest caz, ca sirul este nemarginit la stanga, sau ca sirul tinde la - 00.
Observatii:
- Un sir care nu este convergent se numeste divergent;
- Un sir convergent are o singura limita;
- Orice subsir al unui sir convergent este convergent si are aceeasi limita;
- Daca un sir contine doua subsiruri convergente catre limite diferite, atunci sirul este divergent;
- Orice sir convergent este marginit; deci orice sir nemarginit este divergent;
- Orice sir monoton are limita finita, daca sirul este si marginit, sau infinita, daca sirul nu este marginit;
- Un sir convergent nu este obligatoriu si monoton; exemplu:
unde n este natural;
- Orice sir periodic este divergent.
- Teorema de convergenta:
- Sirul (xn) este convergent la L daca si numai daca pentru orice ε > 0,
  exista nε € N, astfel incat pentru orice n mai mare sau egal cu nε : |xn - L|< ε.
  Criteriul majorarii:
  Daca
  ${|{x_n}-x|}\leq{y_n}\rightarrow{0},$
  atunci
  ${x_n}\rightarrow{x}.$
  Teorema clestelui:
  Daca
  ${x_n}\leq{y_n}\leq{z_n}$
  si
  $\lim{x}_{n}=\lim{z}_{n}=L,$
  atunci
  ${y}_{n}\rightarrow{L}.$
  Teorema lui Weierstrass:
  Orice sir monoton si marginit este convergent.
  Lema Stolz - Césaro:
  Fie sirurile (xn), si (yn), primul arbitrar, iar al doilea strict crescator si nemarginit,
  yn nenul oricare ar fi n natural.
  Daca exista
  $L=\lim\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n}}{{y}_{n+1}-{y}_{n}},$
  atunci:
  $\lim\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}=\lim\frac{\quad{x}_{n+1} - {x}_{n}}{\quad{y}_{n+1}-{y}_{n}} = L.$
  Criteriul Cauchy - d'Alembert:
  Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricare ar fi n natural nenul.
  Daca exista
  $\lim{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=L,$
  atunci:
  $\lim\sqrt[n]{x}_{n}=\lim\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=L.$
  Criteriul raportului:
  Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricare ar fi n € N*. Daca
  $lim_{n{\rightarrow}{+\infty}}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=L$
  si
  1) L < 1, atunci lim(xn) = 0
  2) L > 1, atunci lim(xn) = +oo.
  Recurenta liniara (de ordinul al doilea):
  Orice sir (xn), n natural nenul, definit prin xn+2 = a·xn+1 + b·xn,
  cu x1, x2 numere reale fixate, iar a si b numere reale date.
  Ecuatia r² - ar - b = 0 se numeste ecuatia caracteristica asociata recurentei.
  Se disting urmatoarele cazuri:
  1) Δ > 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si distincte, anume r1 si r2.
  Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:
  ${x}_{n} = {c}\cdot{{r}_{1}}^{n}+{d}\cdot{{r}_{2}}^{n},$
  unde constantele c si d se obtin rezolvand sistemul:
  $\begin{cases}c\cdot{{r}_{1}}^{1}+d\cdot{{r}_{2}}^{1}={x}_{1}\\c\cdot{{r}_{1}}^{2}+d\cdot{{r}_{2}}^{2}={x}_{2}\end{cases}$
  (sistem cu necunoscutele c si d).
  2) Δ= 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si egale, anume r1 = r2 = r.
  Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:
  ${x}_{n} = (c + nd)\cdot{r}^{n},$
  unde constantele c si d se afla ca la cazul anterior.
  3) Δ < 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile complexe nereale si
  conjugate, anume r1,2 = ρ·(cost ± isint).
  Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:
  ${x}_{n} = c\cdot{Im}({{r}_{1}}^{n})+d\cdot{Re}({{r}_{2}}^{n}),$ $unde\;{Im}({{r}_{1}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\sin{nt}\,{ si}\,{ Re}({{r}_{2}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\cos{nt}.$
  Limite remarcabile:
- $\lim{n^k}{a^n}=0,\;unde\;k\in{\mathbb{N}},\;fixat\;si\;|a|<1.$
- $\lim{\frac{sin{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\;\lim{x_n}=0.$
- $\lim{\frac{tg{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\;\lim{x_n}=0.$
- $\lim{\frac{a^{x_n}-1}{x_n}}={lna},\;daca\;\lim{x_n}=0,\;a>0$
- $\lim\sqrt[n]{n} =1.$
- $\lim\sqrt[n]{a}=1,\;unde\;a>0.$
- $\lim{({1 + \frac{1}{n}})^{n}}=e.$ (sirul numarului e)
- $\lim_{{x_n}\rightarrow{{\pm}{\infty}}}{{(1+\frac{1}{x_n})}^{x_n}}=e.$
- $\lim_{{x_n}\rightarrow{0}}{(1+{x_n})}^{\frac{1}{{x}_{n}}}= e.$
- $\lim(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!})=e.$
- $\lim{q^n} =\begin{cases}{1}, q=1\\{\infty}, q >1\\{0}, - 1< q < 1\\\not\exists, q\leq{-1}\end{cases}.$
- $\lim{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-lnn)}=c.$
(n € N*, c = 0,5772156649... - constanta lui Euler, numar irational).

EXERCIŢII REZOLVATE!!!!!!!!
1) Enunt:
Sa se calculeze limita L a sirului definit prin termenul sau general
$a_n=\frac{ln(n^2+n+1)}{n},\;n\in{\mathbb{N}^*}.$
Raspuns:
L = 0.
Rezolvare:
$L=\lim{a_n}=\lim{\frac{ln[n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})]}{n}}=\lim{\frac{2lnn+ln(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n}}=\cdots=2\lim(ln{\sqrt[n]{n})}=$
$=2ln(lim{\sqrt[n]{n}})=2ln1=0.$

2) Enunt:
Fie sirul de numere reale, definit prin (an) cu n € Ν*, an = (1 - 2n) / (3n - 1 ).
Sa se demonstreze, folosind definitia cu ε, ca lim(an) = - 2/3.
Demonstratie:
Vom arata ca pentru orice ε > 0 exista N(ε), astfel incat pentru orice n mai mare sau
egal cu N(ε) : |an  + 2/3| < ε.
Inecuatia |an  + 2/3| < ε devine, dupa cateva calcule elementare:
n > (3ε + 1)/(9ε).
Notand N(ε) = [(3ε + 1)/(9ε)] + 1, deducem ca:
exista N(ε) € N, astfel incat oricare ar fi n mai mare sau egal cu N(ε)}:
|an  + 2/3| < ε, deci: lim(an) = - 2/3.
Observatii:
1) Numarul N(ε) este natural si el reprezinta rangul incepand de la care
toti termenii sirului (exceptand, eventual, un numar finit dintre acestia), se gasesc in
vecinatatea simetrica a limitei:
an € (- 2/3 - ε,- 2/3 + ε), oricare ar fi n mai mare sau egal cu N(ε).
2) Pentru ε = 1, avem N(ε) = N(1) = [(3 + 1)/9] + 1 = ... = 1.
Rezulta ca pentru orice n mai mare sau egal cu 1, toti termenii sirului sunt in
vecinatatea simetrica (- 2/3 - 1,- 2/3 + 1) a limitei, deci nu exista termeni in afara
acestei vecinatati !
Pentru ε = 1/10, avem N(ε) = N(1/10) = ... = 2.
Rezulta ca pentru orice n mai mare sau egal cu 2, toti termenii sirului sunt in
vecinatatea simetrica (- 2/3 - 1/10, - 2/3 + 1/10) a limitei, deci doar primul termen
este in afara acesteia!
Este usor de inteles ca valori din ce in ce mai mici atribuite lui ε lasa
mai multi termeni ai sirului (in numar finit!) in afara vecinatatii limitei,
dar, oricum, in vecinatate sunt intotdeauna un numar infinit de termeni (acest lucru se
intampla in cazul sirurilor cu limita!).
3) Evident, limita poate fi calculata pe scurt:
lim(an) = lim(1 - 2n)/(3n - 1) = lim[n(1/n - 2)]/[n(3 - 1/n)] = ... = - 2/3.
(Dar metoda era precizata in enunt...)
3) Enunt:
Sa se calculeze L= lim(xn · yn), stiind ca
6xn+2 - 5xn+1 + xn = 0, oricare ar fi n natural si nenul, x1 = - 1, x2 = 1
si
$y_n=sin(n^2+n+1)+\sqrt[(n^2+n+2)]{n^2+n+2}+\frac{1}{n^2+n+3},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}}.$
Raspuns:
L = 0.
Rezolvare:
Se rezolva ecuatia caracteristica a recurentei, anume 6r² - 5r + 1 = 0 si se obtine
$r_1=\frac{1}{3},\;r_2=\frac{1}{2},$
deci termenul general al sirului (xn) cu n € N* este:
$x_n={C_1}\cdot{{\frac{1}{3^n}}}+{C_2}\cdot{{\frac{1}{2^n}}}.$
Conform ipotezei, se obtine sistemul liniar
$\begin{cases}\frac{C_1}{3}+\frac{C_2}{2}=-1\\\frac{C_1}{9}+\frac{C_2}{4}=1\end{cases},$
care are solutia: C1 = - 27, C2 = 16.
Deducem imediat ca sirul
$x_n={-27}\cdot{{\frac{1}{3^n}}}+{16}\cdot{{\frac{1}{2^n}}},$
este convergent la zero (1), iar sirul al doilea este in mod clar marginit
(suma de 3 siruri marginite!).(2)
Din (1) si (2), tinand cont ca produsul dintre un sir convergent la zero si unul marginit
este un sir convergent la zero, rezolvarea este terminata.
Observatie:
Concluzia privitoare la convergenta la zero a primului sir ar fi putut fi precizata inca din
momentul aflarii radacinilor ecuatiei caracteristice (numere subunitare).